2023-10-24

遅延セグツリーの仕組みを知りたい

初めましてuetaです。Atcoder やcodeforcesで競技プログラミングやっています。

今回はアルゴリズム、遅延セグツリーを勉強しました。

これの理解のために時間を費やしたのでそれをまとめていこうと思います。

セグツリーとは？

任意の範囲の最大値最小値、区間和などを得るアルゴリズム。

前処理を配列長Nに対してO(N)で行うと

各クエリの取得、1点更新が　O(logN)で実行できる

学ぶなら algo-logic.info

遅延セグツリーとは

遅延セグツリーはセグツリーにおいて、区間更新が可能になっているデータ構造。

遅延セグツリーのアルゴリズムを理解するにはセグメントツリーの理解が必要になる。

詳しくない方は勉強してから読んでいただけると幸いです。

本編

今回はACL(atcoder library)を用いて示しながら示していこうと思う。今回は区間最小値、区間更新とする。以下では配列長をNとする。

データの構造

基本的には通常のセグメントツリーと同じ構造

そこに lz という　遅延を保持する部分を別に持つことでうまく処理をこなす

遅延セグツリーの重要なコマンドは以下の二つ

区間更新　apply(int l,int r,int x)
区間クエリ実行　prod(int l,int r)

区間更新apply(int l,int r,int x)

[ l , r )の範囲をxに更新する　計算量 O(logN)

No.１: lからrの範囲をトップダウンにこれまでの遅延記憶 lz を更新

一番上から、たまった遅延部分lzを更新を伝播させていく。 lzの値があるときにのみ、下に更新する必要がある。その時に、更新した値は初期値に戻す。

この更新数は 2*logN個以下であるため O(logN)

No. 2: lからrの範囲をseg区間をxで更新

lからrをxにする。通常のセグメントツリーと同様に区間を更新する。その時にlzの値も更新する。

これはもちろん logN個以下 O(logN)

No. 3: lからrの範囲をボトムアップに更新

下から、更新を伝播させていく。セグメントツリーの一点更新と同じ要領で区間を更新する。

この更新数は 2*logN個以下であるため O(logN)

遅延セグツリーapplyコード（区間更新の部分をACLから抜き出したのもの）

    void apply(int l, int r, F f) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= _n);
        if (l == r) return;

        l += size;
        r += size;

// No. 1
        for (int i = log; i >= 1; i--) {
            if (((l >> i) << i) != l) push(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) push((r - 1) >> i);
        }
// No. 2
        {
            int l2 = l, r2 = r;
            while (l < r) {
                if (l & 1) all_apply(l++, f);
                if (r & 1) all_apply(--r, f);
                l >>= 1;
                r >>= 1;
            }
            l = l2;
            r = r2;
        }
// No. 3
        for (int i = 1; i <= log; i++) {
            if (((l >> i) << i) != l) update(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) update((r - 1) >> i);
        }
    }

push　　1か所において、ボトムダウンに伝播させるアルゴリズム。
update　ボトムアップに伝播させるアルゴリズム。

gifにするとこうなる。

1-7を5に更新する

続けて5-12を6に更新する

区間取得　prod(int l,int r)

[ l , r )の範囲を更新する　計算量 O(logN)

No.１: lからrの範囲をトップダウンにこれまでの遅延記憶 lz を更新

この更新数は 2*logN個以下であるため O(logN)

No. 2: lからrの範囲をseg区間を取得

通常のセグメントツリーと同様に区間を取得する。

これはもちろん logN個以下 O(logN)

遅延セグツリーprodコード（区間取得の部分をACLから抜き出したのもの）

    S prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= _n);
        if (l == r) return e();

        l += size;
        r += size;
// No. 1
        for (int i = log; i >= 1; i--) {
            if (((l >> i) << i) != l) push(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) push(r >> i);
        }
// No. 2
        S sml = e(), smr = e();
        while (l < r) {
            if (l & 1) sml = op(sml, d[l++]);
            if (r & 1) smr = op(d[--r], smr);
            l >>= 1;
            r >>= 1;
        }

        return op(sml, smr);
    }

gifで確認。

続けて2-7を取得する

続けて11-15を取得する

最後に

遅延の流れをようやく理解できた。コードのすべては以下に示す。

ぜひ参考にしてください。

遅延セグツリーに関わるACLのコード

// https://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=DSL_2_F&lang=ja
#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdint>
using namespace std;

//https://github.com/atcoder/ac-library
int ceil_pow2(int n) {
    int x = 0;
    while ((1U << x) < (unsigned int)(n)) x++;
    return x;
}
template <class S,
          S (*op)(S, S),
          S (*e)(),
          class F,
          S (*mapping)(F, S),
          F (*composition)(F, F),
          F (*id)()>
struct lazy_segtree {
  public:
    lazy_segtree() : lazy_segtree(0) {}
    lazy_segtree(int n) : lazy_segtree(vector<S>(n, e())) {}
    lazy_segtree(const vector<S>& v) : _n(int(v.size())) {
        log = ceil_pow2(_n);
        size = 1 << log;
        d = vector<S>(2 * size, e());
        lz = vector<F>(size, id());
        for (int i = 0; i < _n; i++) d[size + i] = v[i];
        for (int i = size - 1; i >= 1; i--) {
            update(i);
        }
    }

    void set(int p, S x) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        d[p] = x;
        for (int i = 1; i <= log; i++) update(p >> i);
    }

    S get(int p) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        return d[p];
    }

    S prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= _n);
        if (l == r) return e();

        l += size;
        r += size;

        for (int i = log; i >= 1; i--) {
            if (((l >> i) << i) != l) push(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) push(r >> i);
        }

        S sml = e(), smr = e();
        while (l < r) {
            if (l & 1) sml = op(sml, d[l++]);
            if (r & 1) smr = op(d[--r], smr);
            l >>= 1;
            r >>= 1;
        }

        return op(sml, smr);
    }

    S all_prod() { return d[1]; }

    void apply(int p, F f) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        d[p] = mapping(f, d[p]);
        for (int i = 1; i <= log; i++) update(p >> i);
    }
    void apply(int l, int r, F f) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= _n);
        if (l == r) return;

        l += size;
        r += size;

        for (int i = log; i >= 1; i--) {
            if (((l >> i) << i) != l) push(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) push((r - 1) >> i);
        }

        {
            int l2 = l, r2 = r;
            while (l < r) {
                if (l & 1) all_apply(l++, f);
                if (r & 1) all_apply(--r, f);
                l >>= 1;
                r >>= 1;
            }
            l = l2;
            r = r2;
        }

        for (int i = 1; i <= log; i++) {
            if (((l >> i) << i) != l) update(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) update((r - 1) >> i);
        }
    }

    template <bool (*g)(S)> int max_right(int l) {
        return max_right(l, [](S x) { return g(x); });
    }
    template <class G> int max_right(int l, G g) {
        assert(0 <= l && l <= _n);
        assert(g(e()));
        if (l == _n) return _n;
        l += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(l >> i);
        S sm = e();
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!g(op(sm, d[l]))) {
                while (l < size) {
                    push(l);
                    l = (2 * l);
                    if (g(op(sm, d[l]))) {
                        sm = op(sm, d[l]);
                        l++;
                    }
                }
                return l - size;
            }
            sm = op(sm, d[l]);
            l++;
        } while ((l & -l) != l);
        return _n;
    }

    template <bool (*g)(S)> int min_left(int r) {
        return min_left(r, [](S x) { return g(x); });
    }
    template <class G> int min_left(int r, G g) {
        assert(0 <= r && r <= _n);
        assert(g(e()));
        if (r == 0) return 0;
        r += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push((r - 1) >> i);
        S sm = e();
        do {
            r--;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!g(op(d[r], sm))) {
                while (r < size) {
                    push(r);
                    r = (2 * r + 1);
                    if (g(op(d[r], sm))) {
                        sm = op(d[r], sm);
                        r--;
                    }
                }
                return r + 1 - size;
            }
            sm = op(d[r], sm);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }

  private:
    int _n, size, log;
    vector<S> d;
    vector<F> lz;

    void update(int k) { d[k] = op(d[2 * k], d[2 * k + 1]); }
    void all_apply(int k, F f) {
        d[k] = mapping(f, d[k]);
        if (k < size) lz[k] = composition(f, lz[k]);
    }
    void push(int k) {
        all_apply(2 * k, lz[k]);
        all_apply(2 * k + 1, lz[k]);
        lz[k] = id();
    }
};

using S = long long;
using F = long long;
const S INF = (1LL<<31) -1 ;
const F ID = (1LL<<31) -1;
S op(S a, S b){ return std::min(a, b); }
S e(){ return INF; }
S mapping(F f, S x){ return (f == ID ? x : f); }
F composition(F f, F g){ return (f == ID ? g : f); }
F id(){ return ID; }


int main(){
    int n,q;
    cin >> n >> q;
    
    lazy_segtree<S, op, e, F, mapping, composition, id> seg(n);
    while (q--)
    {
        int r,s,t,x;
        cin >> r;
        if(r==0){
            cin >> s >> t >> x;
            seg.apply(s,t+1,F{x});
        }else{
            cin >> s >> t;
            cout << seg.prod(s,t+1) << endl;
        }
    }
    
    return 0;
}

参考

非再帰版の遅延評価セグメント木の実装メモ - 日々ｄｒｄｒする人のメモ

遅延評価セグメント木も完全に理解する #競技プログラミング - Qiita

GitHub - atcoder/ac-library: AtCoder Library

2023-09-26

初めての海外旅行記　バックパッカー　大学生

東欧旅行記

初めまして～

uetaです。

東欧に旅行に行ったので旅行の記録を少しずつ書いていきます。

海外に行きたいけど、どう行けばわからないという人もいると思います。

そのような人に向けてどのように考えてどうやって行ったかを細かくまとめていきたいと思います。

まず、なぜ行こうと思ったから

なぜ

新しいものを知りたい、経験したいという知識欲

率直にいうと、海外に一回行った経験がありそれが自分にとって強烈だったからです。

ueta7.hatenablog.com

この経験が自分を連れていくことになりました。

海外での生活スタイルを知りたい、海外の食事を食べたい、話してみたい

新しい場所で過ごしたい。この思いが自分を前に進めました。

今の場所から背を伸ばしてゆっくりしたい

研究室でこもる生活をしていました。しかも、就職活動も忙しく遊ぶ暇もあまりない生活をしていました。ゆっくり海外であそびたい。いったことがない場所に行きたいという思いがありました。

どういう順番で予定を立てるか

まずいつ行くか
誰と行くか
どこに行くか
航空券をとる
初日のホテルとその他バス等を予約する
荷物の準備

1. いつ

自分は休みが夏休み8月に4週間ほどしかなかったのでそこで行った。

2. 誰と

友人の一人に声をかけたが断られた。別の友人に声をかけたら乗り気だったので良き。

3. どこ

自分は東欧に行きたかったので即決

なぜなら、治安がかなりいい＋英語が使える＋物価が安い＋有名な観光地がある

条件がそろうのがここしかなかった

ここで調べるべきは入国に必要なものがないか。

例えばアメリカ行くならVISAをとる必要があり、電子で申請する必要がある。

中国なら、今ならトランジットビザで3日間いられるらしい。2023年8月現在

4. 航空券

どこからどこまで

どこから入りどこに出るか
ギリシャから入りセルビア、ハンガリー、オーストリアチェコイタリアに行きたいと考えていた。

そのトランジットがビザなしで可能か調べておく必要がある。

行きはギリシャ発に安いものがあったため決定。
帰りはベネチア発にいい飛行機があったためそれに決定。
行7万、帰り8万程度で決着。

5. 初日のホテル

最後に初めにとまるホテル
始めの3日はアテネに滞在するホテルを予約した。だんだん実感がわいてきた

6.荷物をどうするか

荷物
荷物は最低限にしたかったが結局7キロ超になってしまった。
服は下着は3日分、上着は長袖1つ、ズボンは2つほどで
後はアメニティ、タオル等
手提げ用のショルダーバッグバッグ
パスポートケース
モバイル充電器等

以下でも参考にして

www.rizoba.com

友人は自分よりもTシャツが少なかったので着衣は少なくても何とかなると思う。

エアコンで寒い場所がとても多かったので薄いヒートテックがとても助かったのであるといいかも。

+. 細かい場所決め

まとめ

最後に東京までどうやって行くかを計画して
これでしゅっぱつ準備完了した。

これで行ける。よしいこう！！！

2023-09-26

なぜ海外に行くのか

初めての一人海外の経験

自分がなぜ、初めて一人で海外に行けたのかを書き記します。

海外で働きたい

自分は元々、ざっくり海外で働きたいという思いがありました。

だって、給料高い（らしい）し、労働環境がいい（らしい）し、

最高じゃんと。

でも、言語に問題あるし、他の問題ありそうだし（文化宗教物価等）

もしかしたら海外で過ごすとどんな問題があるかわからないから、ひとまずいってみたい、、、とざっくりした理由。

それまでの海外経験

ハワイに両親の新婚旅行（1歳）

海外経験は記憶がほぼないタイの家族旅行（3歳）

家族でしかも日本語がかなり通じたハワイ旅行（19歳）

程度ありました。

でも、自分ひとりで自発的に行ったことはないし

英語を実際に使った経験は全くない。

でも使いたい。

ちょうど、イタリアに行きたい友人が

ちょうど、2020年3月イタリアに行きたい友人がいたので一緒に行こうと話をしていました。

その友人は「Aria」というアニメが好きでそのアニメはベネチアが舞台なんですよね。

以下のような計画を立てました。

でも...

イタリア旅行はコロナが流行ってかなり危険な時期 ( https://www.bbc.com/japanese/51796462 )

だったので中止....悲しい。。。

しかも、その直前の予定である部活の合宿がつぶれた...

10日以上空くことがわかる。うーん暇だなとTwitterで呟いたら

なんとタイに旅行していた旅好きの友人がタイに来ないかと誘ってきました。

タイに行くとなったらどうなるか調べた

色々調べたところ

タイへの航空券は往復で17.600円（2023年同時期に買うと5万くらいはず）
物価差の問題で全額5万で1週間過ごせる（今より全然安い）

当時は物価差があり日本の1/5以下で過ごせる国でした。

食事が少なめだと100円、多く食っても400円程度

海外旅行はずっとしたかったけどしたことがないけど、場所はバックパッカーの聖地でベスト

バックパッカーが多くが集まる国で、治安は悪くない、物価は安い、旅行客も宿が多く英語が比較的使える。こんな条件がそろった国が少ない。

色々考えた結果、今行かないと言い訳にしたら二度といかない　と気づきました。

結局出発2日前によし行こうとなりました。最高の結果に。

現地では

現地に到着してまず、Tシャツを購入したところ相場の5倍程度だったとのこと（やらかした）友達に笑われた。。。

しかも、現地で友達と2日間くらい過ごしていたら友達がどこか出かけると言い出してなんとチェンマイに旅だっていったので、一人で過ごすことに。。。

でも、ラッキーなことに日本人宿に一人で泊まっていたら残り数日も一緒に同行してくれる人ができて楽しめました。

この経験でいろいろと初めて知りました。

海外旅行の良いところ

日本との生活リズムの違い。

カオサン通り周辺は夜遅くまでEDMが流れててみんな酒飲みながら踊り狂ってる。

屋台も出ててビールを片手に楽しんでる人が多い。日本にいると味わえないものが多い。ぜひ、空気感を楽しみませんか？

食事の違い。

中華の色が少し混じってるため、中華ソースの辛みを含んだ炒め物

（空心菜おいしかった、しかも安い）あと、普段飲まないビール。

食べ方の違いだと、ビールに氷を入れるのは衝撃だったけどうまかった。

おいしい食事が安く味わえるのは最高ですよね。しかも、屋外で

知らない土地、知らない言語の不自由感

知らない土地、知らない言語で不安感が募りますよね、でも慣れ切った環境よりも初めての場所での新しい出来事の方が自分の記憶に強烈に残ります。これがホントに楽しい。

これが自分にとっての海外に行く醍醐味です。

国によって雰囲気も文化も違います。

ホントに最高な経験をできました。

まとめ

日本との生活リズムの違い、食事の違い、知らない土地、知らない言語の不自由感

これが自分を海外に誘う楽しみですね。

もっと行きまくりたい。

2023-09-26

投稿開始

初めまして

初めまして、uetaです。

これから、hatenaブログを開設して主に二つのことを書きます。

一つ目は旅日記

よく旅行します（しました）。

その旅の記録を残したいと思います。

もう一つ目は競技プログラミング解説記事

競技プログラミングをよくやります。

アカウント名はuetaです。

atcoder水色です。

その解説記事を時間の限り書こうと思います。

よろしくお願いいたします。

セグツリーとは？

遅延セグツリーとは

本編

データの構造

遅延セグツリーの重要なコマンドは以下の二つ

区間更新apply(int l,int r,int x)

No.１: lからrの範囲をトップダウンにこれまでの遅延記憶 lz を更新

No. 2: lからrの範囲をseg区間をxで更新

No. 3: lからrの範囲をボトムアップに更新

区間取得 prod(int l,int r)

No.１: lからrの範囲をトップダウンにこれまでの遅延記憶 lz を更新

No. 2: lからrの範囲をseg区間を取得

最後に

参考

東欧旅行記

なぜ

新しいものを知りたい、経験したいという知識欲

今の場所から背を伸ばしてゆっくりしたい

どういう順番で予定を立てるか

1. いつ

2. 誰と

3. どこ

4. 航空券

5. 初日のホテル

6.荷物をどうするか

+. 細かい場所決め

まとめ

初めての一人海外の経験

海外で働きたい

それまでの海外経験

ちょうど、イタリアに行きたい友人が

タイに行くとなったらどうなるか調べた

タイへの航空券は往復で17.600円（2023年同時期に買うと5万くらいはず）

物価差の問題で全額5万で1週間過ごせる（今より全然安い）

海外旅行はずっとしたかったけどしたことがないけど、場所はバックパッカーの聖地でベスト

現地では

海外旅行の良いところ

日本との生活リズムの違い。

食事の違い。

知らない土地、知らない言語の不自由感

まとめ

初めまして

一つ目は旅日記

もう一つ目は競技プログラミング解説記事

区間取得　prod(int l,int r)